Šaknys kvadratinės lygtys: algebra ir geometrinis reikšmė

Išsilavinimas:

Algebra, lygtis antrojoužsakymas. Pagal lygtį reiškia matematinę išraišką, kurios sudėtyje yra vienas ar daugiau nežinomų. Antrojo laipsnio lygtis yra matematinė lygtis, kurios nežinomas laipsnis turi bent vieną kvadratą. Kvadratininė lygtis yra antroji eilė, lygtis yra sumažinta iki identiškos formos, lygios nuliui. Klasikinis lygtis yra kvadratinis - tai tas pats, kas nustato kvadratin ÷ s lygties šaknis. Tipiška kvadratin ÷ lygtis bendrojoje formoje:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

kur W, T yra kvadratin ÷ s lygties šaknies koeficientai;

O yra laisvasis koeficientas;

C - kvadratinį lygtį šaknys (visada turi dvi vertes C1 ir C2).

Kaip jau minėta, kvadratin ÷ s lygties sprendimo problema yra kvadratin ÷ s lygties šaknų nustatymas. Norint juos rasti, būtina rasti diskriminantą:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

Diskriminantas yra reikalingas sprendžiant formulę, leidžiančią rasti root c1 ir c2:

c1 = (-T + √N) / 2 * W ir c2 = (-T - √N) / 2 * W

Jei kvadratin ÷ je bendrosios formos lygtyje koeficientas prie šaknies T turi kelis reikšmes, tada lygtis pakeičiama taip:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

Ir jo šaknys atrodo kaip išraiška:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W ir c2 = [-U-√ (U ^ 2-W * O)] / W

Dažnai lygtis gali turėti šiek tiek kitokią formą, kai c_2 gali neturėti koeficiento W. Tokiu atveju aukščiau pateikta lygtis turi tokią formą:

c ^ 2 + F * c + L = 0

kur F yra šaknies koeficientas;

L - laisvasis koeficientas;

c yra kvadratinės lygties šaknis (visada turi dvi c1 ir c2 reikšmes).

Ši lygties rūšis vadinama kvadratulygtis yra sumažinta. Pavadinimas "sumažinta" išėjo iš tipinės kvadratinės lygties redukcijos formulės, jei W koeficientas yra vienas. Šiuo atveju kvadratin ÷ s lygties šaknys:

c1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] ir c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

Jei yra lygios F koeficiento reikšmės, šaknys turi sprendimą:

c1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F-√ (F ^ 2-L)

Jei mes kalbame apie kvadratines lygtis, tada turėtume prisiminti ir "Place" teoremą. Teigiama, kad sumažintos kvadratinės lygtys yra tokie:

c ^ 2 + F * c + L = 0

c1 + c2 = -F ir c1 * c2 = L

Bendroje kvadratin ÷ je lygtyje kvadratin ÷ s lygties šaknys yra susijusios priklausomyb ÷ mis:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

c1 + c2 = -T / W ir c1 * c2 = O / W

Dabar svarstome galimus kvadratininių lygčių variantus ir jų sprendimus. Iš viso gali būti du, nes jei nėra c_2 termino, tada lygtis nebebus kvadratu. Todėl:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 Kvantinės lygties variantas be laisvo koeficiento (terminas).

Sprendimas:

W * c ^ 2 = -T * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 Kvadratin ÷ s lygties variantas be antrojo termino, kai kvadratin ÷ s lygties šaknys yra lygios absoliučia verte.

Sprendimas:

W * c ^ 2 = -O

c1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

Visa tai buvo algebra. Apsvarstykite geometrinę reikšmę, turinčią kvadratiną lygtį. Antrojo laipsnio lygtis geometrijoje apibūdina parabolų funkciją. Vidurinės mokyklos mokiniams dažnai būna problema, kaip rasti kvadratinės lygties šaknis? Šios lygties šaknys pateikia supratimą, kaip funkcijos grafika (parabola) kerta koordinatės-abscisu ašį. Jei, sprendžiant kvadratiną lygtį, gauname neracionalų šaknų sprendimą, tada nebus sankirtos. Jei šaknis turi vieną fizinę vertę, ta funkcija vienoje vietoje kerta abscisuos ašį. Jei yra du šaknys, atitinkamai - du susikirtimo taškai.

Reikėtų pažymėti, kad pagal neracionalią šaknįreiškia neigiamą reikšmę po šaknies, randant šaknis. Fizinė reikšmė yra bet kokia teigiama ar neigiama reikšmė. Jei ieškoma tik vieno šaknies, tai reiškia, kad šaknys yra vienodos. Kreivės orientaciją į Dekreto koordinačių sistemą taip pat galima iš anksto nustatyti pagal W ir T šaknų koeficientus. Jei W turi teigiamą reikšmę, abiejų parabolų šakos turi aukštyn kryptį. Jei W reikšmė yra neigiama, tada - žemyn. Be to, jei koeficientas B turi teigiamą ženklą, o W yra teigiamas, tada parabolų funkcijos viršūnė yra "y" nuo "-" begalybės iki "+" begalybės, "c" nuo minus begalybės iki nulio. Jei T yra teigiama reikšmė ir W yra neigiama reikšmė, tada kitoje abscisuos ašies pusėje.